Diferensial Total & Diferensial fungsi dari fungsi

Diferensial total

membentuk turunan parsial  dan  ,perubahan  dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :

dz =

 jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz =  disetiap titik (x,y) dari D

Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :

dw =

 Contoh

1.      tentukan dw  jika w =  !

penyelesaian :

dw =  dx +  dy -  dz

2.      radius dan tinggi sebuah silinder  lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran  .gunakan diferensial  total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui : v =

r= 4 cm

h=10 cm

dr=dh =  0,05 cm

ditanya : dv = ?

jawab :

dv =  dr +  dh           

dv = 2  +  dh

subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm  dan dr =dh = sehingga menghasilkan  dv =2  (40) (  (

=

Diferensial Fungsi dari Fungsi

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca,jika y = f(x(t)),dengan f dan x keduanya fungsi yang terdiferensikan maka,  

Untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada cara berikut

Cara Pertama :

Jika z = f (x,y) dengan x dan y adalah fungsi t,maka ditanyakan

Teorema A (Aturan Rantai)

Andaikan X = x(t) dan Y = y(t) terdiferensialkan di t da andaikan z = f (x,y) terdiferensialkan di (x(t) ,y(t)),maka z = f(x(t) ,y(t)) terdiferensialkan di t dan :

Bukti penyerdaehaan cara penulisan andaikan P(x,y), P = (  maka,   ................(1)

Dengan jika    

Jika kedua ruas dibagi dengan  maka,

(1)    =

Sekarang :

Dan yang belakangan mendekati

Jika  dan keduanya   mendekati 0 (untuk x (t) dan y(t) kontinu terdiferensialkan),hal ini dapat disimpilkan jika  sebagai akibatnya pada saat kita biarkan jika  pada (1), maka akan kita dapat :

Contoh:

Diketahui : z =

                   x = 2t

                   y =

Ditanya : Tentukan

Jawab :

                  = (3

                  = 6 ( +2

                  =22 + 32

Contoh:

Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi,radiusnya bertambah pada laju 0,1 centimeter  per jam dan tingginya bertambah pada laju 0,4 cm/jam. Tentukan waktu pada saat radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 200 cm?

Penyelesaian :

Rumus total luas permukaan tabung S = 2  r h + 2  r²

 =    +  

    = (2  h + 4  r) (0,1) +  (2  r) (0,4)

Pada r = 10 dan h = 200

 = (2  200 + 4  10) (0,1) +  (2  10) (0,4)

     = 44  + 8  

Cara Kedua :

Jika z = f ( x, y ) dengan X = x (s,t) maka yang ditanyakan  dan

Teorema B ( Aturan Rantai )

Misalkan X = x (s,t) dan Y = y (s,t) mempunyai turunan pertama di (s,t) dan misalkan z = f (x,y) terdiferensialkan di ( x (s,t), y(s,t) ) mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh :

i)                       =

ii)                 

Bukti : jika s dipertahankan tetap, maka x (s,t) dan y (s,t) menjadi fungsi – fungsi t

Saja, yang berarti bahwa teorema A berlaku. Pada waktu kita menggunakan   menggantikan lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap, kita peroleh rumus pada (ii) untuk . Rumus untuk  diperoleh dengan cara serupa dengan mempertahankan t tetap.

Contoh :

1.      Diketahui :  w =  

                     x = s sin t

                     y = t sin t

Ditanya :

Jawab :

  =    +  

      =  2x . s cos t + 2y . Sin s

      = ( 2 sin t cos t + 2t sin s sin s )

      = ( sin 2t + 2t s )

2.      Dik : z = 3  

          y = 2s + 7t

          z = 5 st

Ditanya   ?

Jawab :   =    +  

      = (6x) (7) + (-2y) (5s)

     = 42 ( 2s + 7t ) – 10 st (5s)

= 84s + 294t – 50 t