Pembuktian Phytagoras

Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
 

Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c seperti gambar berikut.

Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan sinus dan cosinus sudut Ө yaitu sebagai berikut.

Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa

Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri kita ketahui bahwa.

Pembuktian denan Persamaan Differensial
 

Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut

b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA tegak lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.

oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada segitiga tersebut harus sama, yaitu:

Dapat ditulis sebagai berikut

Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit terhadap c. Artiya a = c. Maka konstanta = c² = a² sehingga c² = b² + a² terbukti.

Pembuktian Thabit Ibn Qurra
 

Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian disusun berdampingan seperti gambar berikut.

Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil yaitu a² + b².

Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c menjadi sisi miring.

Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian lain yaitu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar berikut.

Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas c².

Read more...

Rumus Kubus

Kubus merupakan bangun ruang yang memiliki Sisi (S) yang sama panjang. Jadi panjang kubus = lebar kubus = tinggi kubus = Sisi (S). 

Rumus untuk luas dan volume dari tabung adalah :

* Luas :

Luas dari satu buah sisi kubus = sisi x sisi ( sisi kubus adalah persegi)

Kubus memiliki 6 buah sisi. Jadi luas permukaan kubus adalah :

 = 6 x sisi x sisi

 = 6.S²  

 Luas permukaan kubus = 

* Volume : 

Volume kubus = Sisi x Sisi x Sisi

                       

Itulah rumus luas dan volume dari kubus.

Read more...

Rumus Luas Segitiga

Kalian pasti sudah tau rumus luas segitiga, rumus ini diperkenalkan saat kalian duduk di kelas 3 SD saat mempelajari luas dan keliling bangun datar.

Rumus luas segitiga :   

       

Keterangan :   a   alas

                        t   tinggi

Kalian pasti pernah berpikir mengapa rumus luas segitiga adalah, 

  

atau kalian pernah berpikir dari mana asal usul rumus luas bangun datar segitiga.

Mari kita pelajari bersama asal usul rumus luas segitiga !

Rumus luas segitiga adalah perkalian antara alas dan tinggi lalu dibagi dua. Alasan mengapa dibagi dua adalah karena bangun datar segitiga berasal dari bangun datar persegi atau persegi panjang yang dipotong secara diagonal.  Mari kita perhatikan gambar dibawah ini !

Gambar disamping adalah gambar sebuah bangun datar persegi panjang.

Perhatikan  p sebagai panjang dan l  sebagai lebar

Lalu kita potong persegi panjang tersebut secara diagonal (mengikuti garis putus-putus).

p  = a panjang sebagai alas

l  = t  lebar sebagai tinggi

L = p x t

Setelah dipotong akan membentuk bangun datar segitiga.

a = alas

t = tinggi

       

 L =

 Dari gambar diatas kita dapat menyimpulkan asal rumus luas segitiga berasal dari rumus peresegi panjang yaitu perkalian panjang (yang menjadi alas pada segitiga) dan lebar (yang menjadi tinggi pada segitiga), dan alasan rumus luas segitiga dibagi dua karena segitiga adalah dua perpotongan persegi panjang yang dipotong secara diagonal (sama besar).

Read more...

Tentang Lingkaran

LINGKARAN                                               

Dalam geometri Euklid,sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada  bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutupsederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen lingaran         

·         Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :

1.     Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana 

     jarak titik tersebut dengan titik manapun

     pada lingkaran selalu tetap.

·         Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :

1.     Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.

2.    Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong 

     lingkaran pada dua titi yang berbeda.

3.    Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka,

     maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.

4.    Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.

5.    Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang

    panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. 

    Diameter ini membagi lingkaran sama luas.

6.    Apotema
merupakan garis terpendek antara tali 

    busur dan pusat lingkaran.

·         Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :

1.     Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.

2.    Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.

3.    Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

dengan   adalah jari-jari lingkaran dan   adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di  , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk

dengan   adalah jari-jari lingkaran dan   adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dalam koordinat polar, yaitu

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam   dan jari-jari luar  .

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam   dan jari-jari luar  , yaitu

di mana untuk   rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

di mana digunakan

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda   mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

π(Pi)

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D :

http://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran

Read more...

Pembuktian Rumus Luas Selimut Kerucut

Kalian pasti sudah tahu rumus luas selimut kerucut [Luas Selimut =  r s] karena kita sudah pelajari semenjak duduk dibangku SMP atau mungkin ada yang mendapatkan dari ketika di bangku SD, tapi tidak semua yang peduli darimana diperoleh rumus tersebut. Atau jika kalian peduli dan ingin tahu asal usulnya, silahkan disimak tulisan saya berikut ini.

Misalkan kita punya sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dibuka sedemikian sehingga menjadi seperti gambar dibawah ini.

Dari gambar diatas terlihat bahwa panjang busur (PB) lingkaran (yang tidak sempurna) sama dengan keliling alas kerucut yang berbentuk lingkaran dengan masing-masing jari-jarinya adalah s [jari-jari lingkaran tidak sempurna] dan r [jari-jari alas kerucut], misal kita tulis

PB Lingkaran = Keliling Alas

2s = 2r

s = r

= … (i)

Karena luas selimut kerucut berbentuk lingkaran yang tidak sempurna, maka luas selimut kerucut sama dengan luas juring dengan , sehingga dapat ditulis.

Luas Selimut Kerucut = Luas Juring

= s²

=  s² [karena (i)]

= r s

Read more...

Diferensial Total & Diferensial fungsi dari fungsi

Diferensial total

membentuk turunan parsial  dan  ,perubahan  dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y) dan dinyatakan oleh dz :

dz =

 jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :

dz =  disetiap titik (x,y) dari D

Untuk fungsi dari variabel atau lebih ,misalnya w = f ( x, y ,u ,v ) maka :

dw =

 Contoh

1.      tentukan dw  jika w =  !

penyelesaian :

dw =  dx +  dy -  dz

2.      radius dan tinggi sebuah silinder  lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm ,dengan kemungkinan kesalahan pengukuran  .gunakan diferensial  total untuk menaksir kesalahn maksimum dalam volume yang diukur.

Penyelesaian :

Diketahui : v =

r= 4 cm

h=10 cm

dr=dh =  0,05 cm

ditanya : dv = ?

jawab :

dv =  dr +  dh           

dv = 2  +  dh

subsitusikan r = 4 ,h = 10 cm  dan dr =dh = sehingga menghasilkan  dv =2  (40) (  (

=

Diferensial Fungsi dari Fungsi

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca,jika y = f(x(t)),dengan f dan x keduanya fungsi yang terdiferensikan maka,  

Untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada cara berikut

Cara Pertama :

Jika z = f (x,y) dengan x dan y adalah fungsi t,maka ditanyakan

Teorema A (Aturan Rantai)

Andaikan X = x(t) dan Y = y(t) terdiferensialkan di t da andaikan z = f (x,y) terdiferensialkan di (x(t) ,y(t)),maka z = f(x(t) ,y(t)) terdiferensialkan di t dan :

Bukti penyerdaehaan cara penulisan andaikan P(x,y), P = (  maka,   ................(1)

Dengan jika    

Jika kedua ruas dibagi dengan  maka,

(1)    =

Sekarang :

Dan yang belakangan mendekati

Jika  dan keduanya   mendekati 0 (untuk x (t) dan y(t) kontinu terdiferensialkan),hal ini dapat disimpilkan jika  sebagai akibatnya pada saat kita biarkan jika  pada (1), maka akan kita dapat :

Contoh:

Diketahui : z =

                   x = 2t

                   y =

Ditanya : Tentukan

Jawab :

                  = (3

                  = 6 ( +2

                  =22 + 32

Contoh:

Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi,radiusnya bertambah pada laju 0,1 centimeter  per jam dan tingginya bertambah pada laju 0,4 cm/jam. Tentukan waktu pada saat radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 200 cm?

Penyelesaian :

Rumus total luas permukaan tabung S = 2  r h + 2  r²

 =    +  

    = (2  h + 4  r) (0,1) +  (2  r) (0,4)

Pada r = 10 dan h = 200

 = (2  200 + 4  10) (0,1) +  (2  10) (0,4)

     = 44  + 8  

Cara Kedua :

Jika z = f ( x, y ) dengan X = x (s,t) maka yang ditanyakan  dan

Teorema B ( Aturan Rantai )

Misalkan X = x (s,t) dan Y = y (s,t) mempunyai turunan pertama di (s,t) dan misalkan z = f (x,y) terdiferensialkan di ( x (s,t), y(s,t) ) mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh :

i)                       =

ii)                 

Bukti : jika s dipertahankan tetap, maka x (s,t) dan y (s,t) menjadi fungsi – fungsi t

Saja, yang berarti bahwa teorema A berlaku. Pada waktu kita menggunakan   menggantikan lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap, kita peroleh rumus pada (ii) untuk . Rumus untuk  diperoleh dengan cara serupa dengan mempertahankan t tetap.

Contoh :

1.      Diketahui :  w =  

                     x = s sin t

                     y = t sin t

Ditanya :

Jawab :

  =    +  

      =  2x . s cos t + 2y . Sin s

      = ( 2 sin t cos t + 2t sin s sin s )

      = ( sin 2t + 2t s )

2.      Dik : z = 3  

          y = 2s + 7t

          z = 5 st

Ditanya   ?

Jawab :   =    +  

      = (6x) (7) + (-2y) (5s)

     = 42 ( 2s + 7t ) – 10 st (5s)

= 84s + 294t – 50 t  

Read more...